设f（x）=a（x-5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Question

设f（x）=a（x-5）²+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

（1）因f（x）=a（x-5）²+6lnx，故f′（x）=2a（x-5）+(6)/(x)，（x＞0），
令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6-8a，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-16a=（6-8a）（x-1），
由切线与y轴相交于点（0，6）．
∴6-16a=8a-6，
∴a=(1)/(2)．
（2）由（I）得f（x）=(1)/(2)（x-5）²+6lnx，（x＞0），
f′（x）=（x-5）+(6)/(x)=((x−2)(x−3))/(x)，令f′（x）=0，得x=2或x=3，
当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，
当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，
故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=(9)/(2)+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．