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证明f(x)=(1+1/x)的x次幂在x>0上是严格单调增加的
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证明f(x)=(1+1/x)的x次幂在x>0上是严格单调增加的
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答案和解析
f(x)=(1+1/x)^x=e^[xln(1+1/x)],x>0,
f'(x)=(1+1/x)^x*[ln(1+1/x)+x/(1+1/x)*(-1/x^)]
=(1+1/x)^x*[ln(1+1/x)-1/(x+1)],
设g(x)=ln(1+1/x)-1/(1+x),x>0,则
g'(x)=1/(1+1/x)*(-1/x^)+1/(1+x)^
=-1/[x(1+x)]+1/(1+x)^
=-1/[x(1+x)^]g(+∞）→0,
∴f'(x)>0,
∴f(x)↑.
f'(x)=(1+1/x)^x*[ln(1+1/x)+x/(1+1/x)*(-1/x^)]
=(1+1/x)^x*[ln(1+1/x)-1/(x+1)],
设g(x)=ln(1+1/x)-1/(1+x),x>0,则
g'(x)=1/(1+1/x)*(-1/x^)+1/(1+x)^
=-1/[x(1+x)]+1/(1+x)^
=-1/[x(1+x)^]g(+∞）→0,
∴f'(x)>0,
∴f(x)↑.
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