用单调有界定理证明an=c^n/n!(c>0),n=1,2……存在极限,并求其值,要用单调有界定理哦~....希望有人赶快帮忙了...

Question

用单调有界定理证明an=c^n/n!(c>0),n=1,2……存在极限,并求其值,要用单调有界定理哦~..
..希望有人赶快帮忙了...

Answer 1

显然a（n+1）/an=c/n
由于c是常数,那么必然存在一个m整数满足c/m<1
那么a（m+1）/am=c/m<1
显然在m项之后的a（n+1）/an都小于1
加上an肯定大于0
那么在m项之后恒有a（n+1）即在m项之后an递减
将an的m之前的项忽略,得到bn
那么就有bn递减且bn恒大于0,那么根据单调有界定理,bn存在极限
bn插入有限的项a1、a2、……a（m-1）即得到an
由bn存在极限根据极限的定义可以知an存在极限(证明很简单,就不重复了)