函数f在（0,+无穷）上可导,不恒为零,且有性质f(xy)=f(x)f(y),求此函数

Question

函数f在（0,+无穷）上可导,不恒为零,且有性质f(xy)=f(x)f(y),求此函数

Answer 1

法一：
由f(xy)=f(x)f(y)有f(1*1)=f(1)=[f(1)]^2
因为f在定义域上不恒为零,所以f(1)=1（这个不用解释吧?）
对等式两边关于y求导 得：
xf'(xy)=f'(x)f(y)+f(x)f'(y)=0+f(x)f'(y)=f(x)f'(y)
取y=1,则xf'(x)=f(x)f'(1)
f'(x)=df(x)/dx
当f(x)≠0时,df(x)/dx=[f(x)f'(1)]/x
df(x)/f(x)=f'(1)dx/x
两边积分 ln|f(x)|=f'(1)ln|x|+ln|c|
从而f(x)=cx^f'(1) （实际上若允许c=0,则当f(x)=0时,对于f(x)=cx^f'(1)也成立）
考虑初值f(1)=1
则有f(1)=1=c*1
故c=1
令k=f'(1）
所以f(x)=x^k
法二（别人告诉我的）：
等式两边先取绝对值然后取ln
既有ln|f(xy)|=ln|f(x)f(y)|=ln|f(x)|+ln|f(y)|
令g(x)=ln|f(x)|
则g(xy)=g(x)+g(y)
两边再对y求导,类似法一,总之能求解.
大致思路就是这样吧,细节方面可能要稍加修改,仅供参考~
顺便问下是10首师数科的么……