已知随机变量X的密度函数为f(x)=ax^2+bx+c0

Question

已知随机变量X的密度函数为f(x)=ax^2+bx+c 0

Answer 1

由密度函数及期望、方差的性质可以知道,
∫(0到1) f(x)dx =1
E(X)=∫(0到1) x*f(x)dx =0.5
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2= ∫(0到1) x^2 *f(x)dx - 0.5^2 =0.15
所以
∫(0到1) f(x)dx
=∫(0到1) ax^2+bx+c dx
=(ax^3 /3 +bx^2 /2+cx) 代入上下限1和0
=a/3 +b/2 +c=1
而
EX=∫(0到1) x*f(x)dx
=∫(0到1) ax^3+bx^2+cx dx
=(ax^4 /4 +bx^3 /3+cx^2 /2) 代入上下限1和0
=a/4 +b/3+c/2=0.5
DX=∫(0到1) x^2*f(x)dx - 0.5^2
=∫(0到1) ax^4+bx^3+cx^2 dx -0.25
= (ax^5 /5 +bx^4 /4+cx^3 /3) -0.25 代入上下限1和0
=a/5 +b/4 +c/3 -0.25=0.15
于是
a/3 +b/2 +c=1
a/4 +b/3+c/2=0.5
a/5 +b/4 +c/3=0.4
解得
a=12,b= -12,c=3