（2010•宁德模拟）已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．（1）若DG=2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的

Question

（2010•宁德模拟）已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）若DG=2，求证四边形EFGH为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面积；
（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
∴∠D=∠A=90°，HG=HE，又AH=DG=2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠DHG=∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA=90°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四边形HEFG为正方形；

（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG＝(1)/(2)×FM×GC＝(1)/(2)×2×(7−6)＝1；

（3）设DG=x，则由第（2）小题得，S_△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE²≤53，
∴x²+16≤53，
∴x≤√(37)，
∴S_△FCG的最小值为7−√(37)，此时DG=√(37)，
∴当DG=√(37)时，△FCG的面积最小为（7−√(37)）．