已知函数f（x）=lnxx．（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若a＞0，函数h（x）=xf（x）-x-ax2在（0，2）上有极值，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(lnx)/(x)．
（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若a＞0，函数h（x）=xf（x）-x-ax²在（0，2）上有极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=(lnx)/(x)，
∴f′（x）=(1−lnx)/(x2)，
令f′（x）=0，解得x=e，
当f′（x）＞0时，即0＜x＜e，时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即x＞e，时，函数f（x）单调递减，
故函数f（x）在（0，e）上递增，再（e，+∞）上递减．
（2）∵h（x）=lnx-x-ax²
∴h′（x）=(1)/(x)-1-2ax=(1−x−2ax2)/(x)=-(2ax2+x−1)/(x)
∵函数h（x）=x•f（x）-x-ax²在（0，2）上有极值，
∴2ax²+x-1=0在（0，2）有单根（不能为重根，即a≠-(1)/(8)），
由a=(1−x)/(2x2)=(1)/(2)（(1)/(x)-(1)/(2)）²-(1)/(8)，
∵(1)/(x)＞(1)/(2)＞0，∴有a＞-(1)/(8)，
∴a的取值范围是a＞0．