已知函数f（x）=mxln（x+1）+x+1，m∈R．（Ⅰ）若直线l与曲线y=f（x）恒相切于同一定点，求l的方程；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≤ex，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=mxln（x+1）+x+1，m∈R．
（Ⅰ）若直线l与曲线y=f（x）恒相切于同一定点，求l的方程；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≤e^x，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=mxln（x+1）+x+1，令x=0时，f（0）=1，
∴函数f（x）恒过点（0，1）．
f′（x）=mln（x+1）+(mx)/(x+1)+1，∴f′（0）=1．
∵直线l与曲线y=f（x）恒相切于同一定点，
∴l的方程为：y=x+1．
（Ⅱ）令g（x）=e^x-（x+1），x≥0．g（0）=0．
则g′（x）=e^x-1≥0，
∴x≥0时，函数g（x）单调递增，因此g（x）≥g（0）=0，因此e^x≥x+1．
①若f（x）=mxln（x+1）+x+1≤x+1，则f（x）≤e^x，
则mxln（x+1）≤0，可得：m≤0．
∴m≤0时，x≥0时，f（x）≤e^x恒成立．
②m>0时，x≥0时，f（x）≤e^x．
令F（x）=f（x）-e^x，（x≥0），F（0）=f（0）-1=0．
由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e^x-x-1，
x=0时，化为0≤0，恒成立，m∈R．
x>0时，化为：m≤(ex-x-1)/(xln(x+1))．
下面证明：(ex-x-1)/(xln(x+1))≥(1)/(2)．
令h（x）=2e^x-2x-2-xln（x+1），h（0）=0．
h′（x）=2e^x-2-ln（x+1）-(x)/(x+1)．h′（0）=0．
h^″（x）=2e^x-(1)/(x+1)-(1)/((x+1)2)≥h^″（0）=0，
∴h′（x）≥0．
∴函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=0．
因此：(ex-x-1)/(xln(x+1))≥(1)/(2)成立，并且(1)/(2)是其最小值．
∴m≤(1)/(2)．
综上可得：实数m的取值范围是(-∞，(1)/(2)]．