已知函数f（x）=logkx（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列．（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）若bn=an•f（an），当k＝2时，求数列{bn}的前n项和Sn；

Question

已知函数f（x）=log_kx（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（a_n）}是首项为4，公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若b_n=a_n•f（a_n），当k＝√(2)时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若c_n=a_nlga_n，问是否存在实数k，使得{c_n}中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由题意f（a_n）=4+（n-1）×2=2n+2，即log_ka_n=2n+2，（1分）
∴a_n=k²ⁿ⁺²∴(an+1)/(an)＝(k2(n+1)+2)/(k2n+2)＝k2．（2分）
∵常数k＞0且k≠1，∴k²为非零常数，
∴数列{a_n}是以k⁴为首项，k²为公比的等比数列．（3分）

（II）由（1）知，b_n=a_nf（a_n）=k²ⁿ⁺²•（2n+2），
当k＝√(2)时，b_n=（2n+2）•2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ⁺²．（4分）
∴S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²，①2S_n=2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³．②（5分）
②-①，得S_n=-2•2³-2⁴-2⁵--2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³=-2³-（2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²）+（n+1）•2ⁿ⁺³
∴Sn＝−23−(23(1−2n))/(1−2)+(n+1)•2n+3=n•2ⁿ⁺³．（8分）

（III）由（1）知，c_n=a_nlga_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk，要使c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，
即（n+1）lgk＜（n+2）•k²•lgk对一切n∈N^*成立．（9分）
①当k＞1时，lgk＞0，n+1＜（n+2）k²对一切n∈N^*恒成立；（10分）
②当0＜k＜1时，lgk＜0，n+1＞（n+2）k²对一切n∈N^*恒成立，只需k2＜((n+1)/(n+2))min，（11分）
∵(n+1)/(n+2)＝1−(1)/(n+2)单调递增，
∴当n=1时，((n+1)/(n+2))min＝(2)/(3)．（12分）
∴k2＜(2)/(3)，且0＜k＜1，
∴0＜k＜(√(6))/(3)．（13分）
综上所述，存在实数k∈(0，(√(6))/(3))∪(1，+∞)满足条件．（14分）