已知函数f（x）=x（a+lnx）有极小值-e-2．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若k∈Z，且k＜f(x)x-1对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Question

已知函数f（x）=x（a+lnx）有极小值-e^-2．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若k∈Z，且k＜(f(x))/(x-1)对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）因为函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=1+a+lnx，由f′（x）=1+a+lnx=0，
解得x=e^-1-a，即当x=e^-1-a，时，函数取得极小值-e^-2．
即f（e^-1-a）=e^-1-a（a-1-a）=-e^-1-a=-e^-2，
所以解的a=1，即实数a的值为1．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x（1+lnx），所以设g(x)=(f(x))/(x-1)=(x+xlnx)/(x-1)，
则g′(x)=(x-2-lnx)/((x-1)2)．
令h（x）=x-2-lnx，x＞1．
因为h′(x)=1-(1)/(x)=(x-1)/(x)＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
又h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4=2-2ln2＞0，
所以h（x）在（1，+∞）上存在唯一的一个实数根x₀，满足x₀∈（3，4），且h（x₀）=0．
，即x₀-2-ln⁡x₀=0，所以lnx₀=x₀-2．
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，此时g′（x）＜0，
当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，此时g′（x）＞0．
所以g′(x)=(x-2-lnx)/((x-1)2)在x∈（1，x₀）时，单调递减，在x∈（x₀，+∞）上单调递增，
所以.g(x)min=g(x0)=(x0+x0lnx0)/(x0-1)=(x0+x0(x0-2))/(x0-1)=(x0(x0-1))/(x0-1)=x0∈（3，4）．
所以要使k＜(f(x))/(x-1)对任意x＞1恒成立，则k＜g（x）_min⁡=x₀∈（3，4），
因为k∈Z，所以要k≤3，即k的最大值为3．