已知函数f（x）=lnx+1ex（e是自然对数的底数），h（x）=1-x-xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求h（x）的最大值；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（

Question

已知函数f（x）=(lnx+1)/(ex)（e是自然对数的底数），h（x）=1-x-xlnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求h（x）的最大值；
（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x>0，g（x）<1+e^-2．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=(lnx+1)/(ex)，得f（1）=(1)/(e)，
f′（x）=(1-x-xlnx)/(xex)，所以k=f′（1）=0，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=(1)/(e)．
（Ⅱ）h（x）=1-x-xlnx，x>0．
所以h′（x）=-lnx-2．                                    
令h′（x）=0得，x=e^-2．
因此当x∈（0，e^-2）时，h′（x）>0，h（x）单调递增；
当x∈（e^-2，+∞）时，h′（x）<0，h（x）单调递减．
所以h（x）在x=e^-2处取得极大值，也是最大值．
h（x）的最大值为h（e^-2）=1+e^-2．
（Ⅲ）证明：因为g（x）=xf′（x），所以g（x）=(1-x-xlnx)/(ex)，
x>0，g（x）<1+e^-2等价于1-x-xlnxx（1+e^-2）．
由（Ⅱ）知h（x）的最大值为h（e^-2）=1+e^-2，故1-x-xlnx≤1+e^-2，
只需证明x>0时，e^x>1成立，这显然成立．
所以1-x-xlnx≤1+e-2x（1+e^-2）．
因此对任意x>0，g（x）<1+e^-2．