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已知函数f(x)=lnx+1ex(e是自然对数的底数),h(x)=1-x-xlnx.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求h(x)的最大值;(Ⅲ)设g(x)=xf′(x),其中f′(x)为f(
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已知函数f(x)=
(e是自然对数的底数),h(x)=1-x-xlnx.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求h(x)的最大值;
(Ⅲ)设g(x)=xf′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.
lnx+1 |
ex |
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求h(x)的最大值;
(Ⅲ)设g(x)=xf′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由f(x)=
,得f(1)=
,
f′(x)=
,所以k=f′(1)=0,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=
.
(Ⅱ)h(x)=1-x-xlnx,x>0.
所以h′(x)=-lnx-2.
令h′(x)=0得,x=e-2.
因此当x∈(0,e-2)时,h′(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(e-2,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减.
所以h(x)在x=e-2处取得极大值,也是最大值.
h(x)的最大值为h(e-2)=1+e-2.
(Ⅲ)证明:因为g(x)=xf′(x),所以g(x)=
,
x>0,g(x)<1+e-2等价于1-x-xlnxx(1+e-2).
由(Ⅱ)知h(x)的最大值为h(e-2)=1+e-2,故1-x-xlnx≤1+e-2,
只需证明x>0时,ex>1成立,这显然成立.
所以1-x-xlnx≤1+e-2x(1+e-2).
因此对任意x>0,g(x)<1+e-2.
lnx+1 |
ex |
1 |
e |
f′(x)=
1-x-xlnx |
xex |
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=
1 |
e |
(Ⅱ)h(x)=1-x-xlnx,x>0.
所以h′(x)=-lnx-2.
令h′(x)=0得,x=e-2.
因此当x∈(0,e-2)时,h′(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(e-2,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减.
所以h(x)在x=e-2处取得极大值,也是最大值.
h(x)的最大值为h(e-2)=1+e-2.
(Ⅲ)证明:因为g(x)=xf′(x),所以g(x)=
1-x-xlnx |
ex |
x>0,g(x)<1+e-2等价于1-x-xlnx
由(Ⅱ)知h(x)的最大值为h(e-2)=1+e-2,故1-x-xlnx≤1+e-2,
只需证明x>0时,ex>1成立,这显然成立.
所以1-x-xlnx≤1+e-2
因此对任意x>0,g(x)<1+e-2.
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