已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设fn（x）是fn-1（x）的导数，n∈N*．（1）求f1（x），f2（x）的表达式；（2）写出fn（x）的表达式，并用数学归纳法证明．

Question

已知函数f₀（x）=x（sinx+cosx），设f_n（x）是f_n-1（x）的导数，n∈N^*．
（1）求f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）写出f_n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（1）f₁（x）=f₀′（x）=（sinx+cosx）+x（cosx-sinx）=（x-1）sin（-x）+（x+1）cosx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx+（1-x）cosx+cosx-（1+x）sinx=-（2+x）sinx-（x-2）cosx，
（2）由（1）得f₃（x）=f₂′（x）=-（3+x）cosx+（x-3）sinx，
把f₁（x），f₂（x），f₃（x），
f₁（x）=（x+1）sin（x+(π)/(2)）+（x-1）cos（x+(π)/(2)），
f₂（x）=（x+2）sin（x+(2π)/(2)）+（x-2）cos（x+(2π)/(2)），
f₃（x）=（x+3）sin（x+(3π)/(2)）+（x-2）cos（x+(3π)/(2)），
猜想f_n（x）=（x+n）sin（x+(nπ)/(2)）+（x-n）cos（x+(nπ)/(2)）（*），
下面用数学归纳法证明上述等式，
①当n=1时，由（1）可知，等式（*）成立，
②假设当n=k时，等式（*）成立，即f_k（x）=（x+k）sin（x+(kπ)/(2)）+（x-k）cos（x+(kπ)/(2)），
则当n=k+1时，f_k+1（x）=f_k′（x）=sin（x+(kπ)/(2)）+（x+k）cosx+(kπ)/(2)）+cos（x+(kπ)/(2)）+（x-k）[-sin（x+(kπ)/(2)）]，
=（x+k+1）cos（x+(kπ)/(2)）+[x-（k+1）][-sin（x+(kπ)/(2)）]，
=（x+k+1）sin（x+(k+1)/(2)π）+[x-（k+1）]cos（x+(k+1)/(2)π），
即当n=k+1时，等式（*）成立
综上所述，当n∈N^*，f_n（x）=（x+n）sin（x+(nπ)/(2)）+（x-n）cos（x+(nπ)/(2)）成立．