如图，△ABC中，∠ABC=45゜，D为BC上一点，CD=2BD，∠ADC=60゜．AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．（1）求证：△AFG≌△CFD；（2）若BC=3，AF=3，求线段EG的长．

Question

如图，△ABC中，∠ABC=45゜，D为BC上一点，CD=2BD，∠ADC=60゜．AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．

（1）求证：△AFG≌△CFD；
（2）若BC=3，AF=√(3)，求线段EG的长．

Answer 1

（1）证明：连接BF，
∵CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CFD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠FCD=30°，
∴CD=2DF，
∵CD=2BD，
∴BD=DF，
∴∠DBF=∠DFB，
∵∠ADC=∠DFB+∠FBD=60°，
∴∠DFB=∠DBF=30°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=45°-30°=15°，
∵∠ABF+∠BAF=∠BFD=30°，
∴∠FAB=15°，
即∠BAF=∠ABF，
∴BF=AF，
∵∠FBC=∠FCB=30°，
∴BF=CF，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠FAG=30°=∠DCF，
在△AFG和△CFD中

∠AFG＝∠CFD

AF＝CF

∠FAG＝∠FCD

∴△AFG≌△CFD（ASA）．
（2）∵BC=3，CD=2BD，
∴BD=1，CD=2，
∵DF=BD，
∴DF=1，
∴在Rt△CFD中，由勾股定理得：CF=√(22−12)=√(3)，
∵△AFG≌△CFD，
∴DF=FG=1，
∴CG=√(3)-1，
在Rt△CEG中，∠GEC=90°，∠GCE=30°，
∴EG=(1)/(2)CG=(√(3)−1)/(2)．