A是正交矩阵,那么A的伴随矩阵是?

Question

A是正交矩阵,那么A的伴随矩阵是?

Answer 1

A*仍是正交矩阵
正交矩阵的充要条件:
A正交 A'A = AA' = E A^-1 = A' (A'是A的转置)
证明:
由A是正交矩阵 AA' = E
而 |A|^2=|A||A'|=|A'A|=|E|=1
所以 |A| = ±1
由 A* = |A|A^-1
所以 A*=±A^-1
所以 (A*)'A* = (±A^-1)'(±A^-1) = (A^-1)'(A^-1)= (A')'A' = AA' =E
所以 A*是正交矩阵.