求函数f(x,y)=x2+xy+y2-6x-3y的极致

Question

求函数f(x,y)=x2+xy+y2-6x-3y的极致

Answer 1

分别对x,y求偏导数得：
f'(x)=2x+y-6
f'(y)=2y+x-3
令两者都为0,解得驻点为：(3,0)
又分别对其求二阶偏导数：
f''(x)=2 =A
f''(y)=2 =C
用f'(x)再对y求偏导数得：
f''(x,y)=1 =B
由极值的判别式可得：
[f''(y)]^2 - [f''(x)].[f''(x,y)]=B^2 - A.C
=1-4=-30,故在(3,0)这点取得极小值：
f(x,y)极小=f(3,0)
=9-18=-9