（2014•靖江市模拟）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是MN上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1

Question

（2014•靖江市模拟）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是

MN

上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．
（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；
（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；
（3）连接PQ，试说明3PQ²+OA²是定值．

Answer 1

（1）证明：连接OB，如图①，
∵BA⊥OM，BC⊥ON，
∴∠BAO=∠BCO=90°，
∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
∴AB∥OC，AB=OC，
∵E、G分别是AB、CO的中点，
∴AE∥GC，AE=GC，
∴四边形AECG为平行四边形．
∴CE∥AG，
∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，
∴GF∥OB，DE∥OB，
∴PG∥EQ，
∴四边形EPGQ是平行四边形；

（2）如图②，当∠CED=90°时，▱EPGQ是矩形．
此时∠AED+∠CEB=90°．
又∵∠DAE=∠EBC=90°，
∴∠AED=∠BCE．
∴△AED∽△BCE，
∴(AD)/(BE)＝(AE)/(BC)．
设OA=x，AB=y，则(x)/(2)：(y)/(2)=(y)/(2)：x，
得y²=2x²，
又 OA²+AB²=OB²，
即x²+y²=1²．
∴x²+2x²=1，
解得：x=(√(3))/(3)．
当OA的长为(√(3))/(3)时，四边形EPGQ是矩形；

（3）如图③，连接GE交PQ于O′，
∵四边形EPGQ是平行四边形，
∴O′P=O′Q，O′G=0′E．
过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′．
由△PCF∽△PEG得，(PG)/(PF)＝(PE)/(PC)＝(GE)/(FC)＝(2)/(1)，
∴PA′=(2)/(3)A′B′=(1)/(3)AB，GA′=(1)/(3)GE=(1)/(3)OA，
∴A′O′=(1)/(2)GE-GA′=(1)/(6)OA．
在Rt△PA′O′中，PO′²=PA′²+A′O′²，
即 (PQ2)/(4)＝(AB2)/(9)+(OA2)/(36)，
又 AB²+OA²