如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．（1）若AB=8，AC=4，求DE的长；（2）求证：AB-AC=2DM．

Question

如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．

（1）若AB=8，AC=4，求DE的长；
（2）求证：AB-AC=2DM．

Answer 1

（1）直角△ABE中，AE=(√(2))/(2)AB=4√(2)，
在直角△ACD中，AD=(√(2))/(2)AC=2√(2)，
则DE=AE-AD=4√(2)-2√(2)=2√(2)；
（2）延长CD交AB于点F．
在△ADF和△ADC中，

∠FAD=∠CAD

AD=AD

∠ADF=∠ADC

，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AC=AF，CD=DF，
又∵M是BC的中点，
∴DM是△CBF的中位线，
∴DM=(1)/(2)BF=(1)/(2)（AB-AF）=(1)/(2)（AB-AC），
∴AB-AC=2DM．