设f(X)是在(负无穷,正无穷)内有定义,且在X=0处连续,又对任意x,X2,有(X+Y)=f(X)+f(Y),证明：f(x)在负无穷到正无穷内连续

Question

设f(X)是在(负无穷,正无穷)内有定义,且在X=0处连续,又对任意x,X2,有(X+Y)=f(X)+f(Y),证明：f(x)在负无穷到正无穷内连续

Answer 1

证明：取x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0,
所以对任意x∈(-∞,+∞),f(x)=f(x0)+f(x-x0),
当x—>x0时,即x-x0—>0时,由f(x)在x=0处连续得
f(x-x0)—>f(0),x-x0—>0,即f(x-x0)—>0,x—>x0,
所以f(x)—>f(x0),x—>x0.(不能用极限,表述稍显麻烦了)
这说明f(x)在(-∞,+∞)上连续.
其实还可以进一步证明,f(x)=f(1)x,x∈(-∞,+∞),