设函数f(X)在负无穷到正无穷上满足f(2-X)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间0,7上,只有f(1)=f(3)=0.1、试判断函数y=f(x)的奇偶性2、试求方程f(x)=0在闭区间-2005,2005上的根的个数,并证明你的结论.

Question

设函数f(X)在负无穷到正无穷上满足f(2-X)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0.
1、试判断函数y=f(x)的奇偶性
2、试求方程f(x)=0在闭区间【-2005,2005】上的根的个数,并证明你的结论.
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希望各位伸出援手,要交的,
在左右鱼耳的回答中，为什么f（x）的对称轴为x=2和x=7，即推得f（x）不是奇函数。还有就是“又 f（1）= f（3）=0 而f（7）≠0，故函数为非奇非偶函数。”没懂，

Answer 1

（Ⅰ） 由于f（2-x）= f（2+x）,f（7-x）= f（7+x）
可知f（x）的对称轴为x=2和x=7,即f（x）不是奇函数.
联立f（2-x）= f（2+x）
f（7-x）= f（7+x）
推得f（4-x）= f（14-x）= f（x）
即f（x）=f（x+10）,T=10
又 f（1）= f（3）=0 ,而f（7）≠0
故函数为非奇非偶函数.
（Ⅱ）f（x）=f（x+10）,T=10
由f（4-x）= f（14-x）= f（x）
且闭区间[0,7]上只有f（1）= f（3）=0
得f（11）= f（13）=f（-7）= f（-9）= 0
即在[-10,0]和[0,10]函数各有两个解
则方程f（x）=0在闭区间[0,2005]上的根为402个,方程f（x）=0在闭区间[－2005,0]上的根为400个
得方程f（x）=0在闭区间[－2005,2005]上的根的个数为802个