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求证：若N是正整数,则根号N不是无理数就是正整数
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求证：若N是正整数,则根号N不是无理数就是正整数
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答案和解析
对任何N是正整数,则根号N不是无理数就是有理数.
如果根号N是无理数,则结论获证.
如果根号N是有理数,设N=n/m,
如果m>1,且n,m互质,即没有公因数.
此时有n²=Nm².考虑等式两端各数的质因数分解,如果等式成立,不考虑质因数的排列次序的情况下,二者的质因数分解应该完全相同.但因n,m没有公因数,所以n²,m²也没有公因数.这样就导致n²与Nm²的质因数不可能相同,故n,m必有公因数.矛盾.
又因为根号N大于1,所以n/m>1,因此n>m.再由上面的讨论过程,可知,m=1.
如果根号N是无理数,则结论获证.
如果根号N是有理数,设N=n/m,
如果m>1,且n,m互质,即没有公因数.
此时有n²=Nm².考虑等式两端各数的质因数分解,如果等式成立,不考虑质因数的排列次序的情况下,二者的质因数分解应该完全相同.但因n,m没有公因数,所以n²,m²也没有公因数.这样就导致n²与Nm²的质因数不可能相同,故n,m必有公因数.矛盾.
又因为根号N大于1,所以n/m>1,因此n>m.再由上面的讨论过程,可知,m=1.
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