（2010•北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-13．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，

Question

（2010•北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-(1)/(3)．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，-1）．
设点P的坐标为（x，y）
(y−1)/(x+1)•(y+1)/(x−1)＝−(1)/(3)
化简得x²+3y²=4（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x²+3y²=4（x≠±1）
（Ⅱ）若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x₀，y₀）
则(1)/(2)|PA|•|PB|sin∠APB＝(1)/(2)|PM|• |PN|sin∠MPN．
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以(|PA|)/(|PM|)＝(|PN|)/(|PB|)
所以(|x0+1|)/(|3−x0|)＝(|3−x0|)/(|x0−1|)
即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x0＝(5)/(3)
因为x₀²+3y₀²=4，所以y0＝±(√(33))/(9)
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为((5)/(3)，±(√(33))/(9))．