（2012•朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（-1，0）．（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和

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（2012•朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（-1，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；
（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

▼优质解答

答案和解析

（1）在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA=2，OB=1，
则：OC=

OA2

=4，
∴C（4，0）．

（2）设抛物线的解析式：y=a（x+1）（x-4），代入点A的坐标，得：
a（0+1）（0-4）=2，a=-

∴抛物线的解析式：y=-

（x+1）（x-4）=-

x²+

x+2，对称轴是：直线x=

．

（3）设直线AC的解析式为：y=kx+2，代入点C（4，0），得：
4k+2=0，k=-

∴直线AC：y=-

x+2；
过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，设P（m，-

m²+

m+2）、
∴S_梯形AOHP=

[2+（-

m²+

m+2）]m=-

m³+

m²+2m，
S_△PHC=

（4-m）（-

m²+

m+2）=

m³-

m²+2m+4，
S_△AOC=

×4×2=4，
S=S_梯形AOHP+S_△PHC-S_△AOC=-m²+4m=-（m-2）²+4，
∴当m=2，即 P（2，3）时，S的值最大．

（4）依题意，设M（

，b），已知P（2，3）、C（4，0），则有：
MP²=b²-6b+

、MC²=b²+

、PC²=13；
当MP=MC时，b²-6b+

=b²+