曲线方程y=1-x^2(x>0)上的点M处的切线与两个坐标轴围成的面积最小,M的坐标为?

Question

曲线方程 y=1-x^2(x>0) 上的点M处的切线与两个坐标轴围成的面积最小,M的坐标为?

Answer 1

设M的坐标为（a,1-a^2）,a>0
导数y'=-2x
则在M处切线的斜率为-2a,
可知切线方程为y-1+a^2=-2a(x-a)
即y=-2ax+a^2+1
与两坐标轴的交点为:
（0,a^2+1）、（(a^2+1)/2a,0）
面积S=1/2*（a^2+1）*[(a^2+1)/2a]=(a^2+1)^2/4a
令S'=3/4*a^2+1/2-1/4a^2=0得a=√3/3
此时S最小,S=4√3/9,M（√3/3,2/3）