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如图1，在平面直角坐标系中，A（0，a），C（c，0），△ABC为等腰直角三角形且a、c满足c＝a2−4+4−a2+20a+2．≥（1）求点B的坐标；（2）如图2，P是直线y＝35x上的一个动点，是否存在点P使△PAC

题目详情

如图1，在平面直角坐标系中，A（0，a），C（c，0），△ABC为等腰直角三角形且a、c满足c＝

a2−4

4−a2

+20

a+2

．

≥
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，P是直线y＝

x上的一个动点，是否存在点P使△PAC的面积等于△BAC的面积？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图3，BF是△ABC内部且经过B点的任一条射线，分别过A作AM⊥BF于M，过 CN⊥BF于N．当射线BF绕点B在△ABC内部旋转时，试探索下列结论：
①

BN+NC

的值不变；②

BN−NC

的值不变．

▼优质解答

答案和解析

（1）根据题意，a²-4≥0且4-a²≥0，
解得a≥2且a≤2，
所以，a=2，
c=

a2−4

4−a2

+20

a+2

2+2

=5，
∴点A（0，2），C（5，0），
∴OA=2，OC=5，
如图1，过点B作BD⊥y轴于点D，
∵∠BAD+∠CAO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BAD，
在△AOC和△BDA中，

∠CAO＝∠BAD

∠AOC＝∠ADB＝90°

AB＝AC

，
∴△AOC≌△BDA（AAS），
∴BD=OA=2，AD=OC=5，
∴OD=AD-OA=5-2=3，
∴点B的坐标为（-2，-3）；

（2）存在．理由如下：如图2，
∵A（0，2），C（5，0），
∴过点AC的直线解析式为y=-

x+2，
又2×5-（-2）=10+2=12，
∴点B关于点C的对称点B′的坐标为（12，3），
根据等底等高的三角形面积相等，过点B或B′，与直线AC平行的直线与y=

x的交点即为所求的点P，
①设过点B与直线AC平行的直线解析式为y=-

x+b₁，
则-

×（-2）+b₁=-3，
解得b₁=-

，
∴y=-

，
联立

y＝−

x−

y＝

，
解得

x＝−

y＝−

，
此时点P的坐标为（-

，-

），
②设过点B′与直线AC平行的直线解析式为y=-

x+b₂，
则-

×12+b₂=3，
解得b₂=

，
∴y=-

，
联立

y＝−

y＝

，
解得

x＝

y＝

117

，
此时，点P的坐标为（

，

117

），
综上所述，存在点P（-

，-