如图，直线y=x与y=-x+2交于点A，点P是直线OA上一动点（点A除外），作PQ∥x轴交直线y=-x+2于点Q，以PQ为边，向下作正方形PQMN，设点P的横坐标为t．（1）求交点A的坐标；（2）写出点P从点O

Question

如图，直线y=x与y=-x+2交于点A，点P是直线OA上一动点（点A除外），作PQ ∥ x轴交直线y=-x+2于点Q，以PQ为边，向下作正方形PQMN，设点P的横坐标为t．
（1）求交点A的坐标；
（2）写出点P从点O运动到点A过程中，正方形PQMN与△OAB重叠的面积s与t的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；
（3）是否存在点Q，使△OCQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由方程组

y=x

y=-x+2

，
解得：

x=1

y=1

，
故交点A的坐标为A（1，1）；

（2）∵P（t，t），PQ ∥ x轴交直线y=-x+2于点Q，
∴Q（2-t，t），
∴PQ=2-t-t=2-2t，
当点N落在x轴上时，
∵PN=PQ
∴t=2-2t，
解得：t= (2)/(3) ，
①当0＜t≤ (2)/(3) 时，S=t•（2-2t）=-2t ² +2t；
②当 (2)/(3) ＜t≤1时，S=PQ ² =（2-2t） ² =4t ² -8t+4；

（3）存在点Q，使△OCQ为等腰三角形．
∵点C是直线y=-x+2与y轴的交点，与x轴交于点B，
∴点C（0，2），B（2，0），
即OC=2，OB=2，
∴BC=

O B 2 +O C 2

=2

2

，
①若CQ ₁ =OQ ₁ ，过点Q ₁ 作Q ₁ D⊥OC，
则OD= (1)/(2) OC=1，
当y=1时，即-x+2=1，
解得：x=1，
∴点Q ₁ （1，1）即为A点；
②若OC=CQ=2，
过点Q ₂ 作Q ₂ E⊥OC于点E，则Q ₂ E ∥ OB，
∴△CQ ₂ E ∽ △CBO，
∴ (Q2 E)/(OB) = (C Q2)/(BC) ，
即 (Q2 E)/(2) = (2)/(22) ，
解得：Q ₂ E=

2

，
∴当x=

2

时，y=-

2

+2，
∴点Q ₂ （

2

，2-

2

）；
同理：点Q ₃ （-

2

，2+

2

）；
③若OQ ₄ =OC=2时，过点Q ₄ 作Q ₄ F⊥x轴，
设点Q ₄ （x，-x+2），
∴x ² +（-x+2） ² =4，
解得：x=2，x=0（舍去），
∴点Q ₄ （2，0）即为B点；
综上可得：一共有4个点满足，分别为：Q ₁ （1，1），Q ₂ （

2

，2-

2

），Q ₃ （-

2

，2+

2

），Q ₄ （2，0）．