直线y=-43x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=23x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，-2），点P为抛物线上一个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．

Question

直线y=-(4)/(3)x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=(2)/(3)x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，-2），点P为抛物线上一个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m=1时，求PD的长；
（3）是否存在点P，使△BDP是等腰直角三角形？若存在，请求线段PD的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点C（0，4）在直线y=-(4)/(3)x+n上，
∴n=4，
∴y=-(4)/(3)x+4，
令y=0，
∴x=3，
∴A（3，0），
∵抛物线y=(2)/(3)x²+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，-2）．
∴c=-2，6+3b-2=0，
∴b=-(4)/(3)，
∴抛物线解析式为y=(2)/(3)x²-(4)/(3)x-2，

（2）当m=1时，y=(2)/(3)x²-(4)/(3)x-2=(2)/(3)-(4)/(3)-2=-(8)/(3)，
∴PD=(8)/(3)-2=(2)/(3)；

（3）存在点P，使△BDP是等腰直角三角形，
∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上，
∴P（m，(2)/(3)m²-(4)/(3)m-2），
∵PD⊥x轴，BD⊥PD，
∴点D坐标为（m，-2），
∴|BD|=|m|，|PD|=|(2)/(3)m²-(4)/(3)m-2+2||，
当△BDP为等腰直角三角形时，PD=BD．
∴|m|=|(2)/(3)m²-(4)/(3)m-2+2|=|(2)/(3)m²-(4)/(3)m|，
∴m²=（(2)/(3)m²-(4)/(3)m）²
解得：m₁=0（舍去），m₂=(7)/(2)，m₃=(1)/(2)，
∴当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为(7)/(2)或(1)/(2)．