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已知:如图,二次函数y=2x2-2的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,直线x=m(m>1)与x轴交于点D.(1)求A、B、C三点的坐标;(2)在直线x=m(m>1)上有一点P(点P在
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已知:如图,二次函数y=2x2-2的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,直线x=m(m>1)与x轴交于点D.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)在直线x=m(m>1)上有一点P(点P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求P点坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,试问:抛物线y=2x2-2上是否存在一点Q,使得四边形A
BPQ为平行四边形?如果存在这样的点Q,请求出m的值;如果不存在,请简要说明理由.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)在直线x=m(m>1)上有一点P(点P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求P点坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,试问:抛物线y=2x2-2上是否存在一点Q,使得四边形A
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▼优质解答
答案和解析
(1)令y=0得2x2-2=0
解得x=±1,
点A为(-1,0),点B为(1,0),
令x=0,得y=-2,
所以点C为(0,-2).
(2)当△PDB∽△COB时,有
=
,
∵BD=m-1,OC=2,OB=1,
∴
=
,
∴PD=2(m-1),
∴P1(m,2m-2).
当△PDB∽△BOC时,
=
,
∵OB=1,BD=m-1,OC=2,
∴
=
,
PD=
,
∴P2(m,
-
).
(3)假设抛物线y=2x2-2上存在一点Q,使得四边形ABPQ为平行四边形,
∴PQ=AB=2,点Q的横坐标为m-2.
当点P1为(m,2m-2)时,
点Q1的坐标是(m-2,2m-2)(9分)
∵点Q1在抛物线y=2x2-2图象上,
∴2m-2=2(m-2)2-2,m-1=m2-4m+4-1,
m2-5m+4=0,m1=1(舍去),m2=4.
当点P2为(m,
-
)时,
点Q2的坐标是(m-2,
-
),
∵Q2在抛物线y=2x2-2图象上,
∴
-
=2(m-2)2-2,
去分母,得
m-1=4(m-2)2-4m-1,
移项,得
4m2-16m+16-44m2-17m+13=0,
整理,得
(m-1)(4m-13)=0,
∴m3=1(舍去),m4=
,
∴m的值为4、
.
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解得x=±1,
点A为(-1,0),点B为(1,0),
令x=0,得y=-2,
所以点C为(0,-2).
(2)当△PDB∽△COB时,有
PD |
OC |
BD |
OB |
∵BD=m-1,OC=2,OB=1,
∴
PD |
2 |
m−1 |
1 |
∴PD=2(m-1),
∴P1(m,2m-2).
当△PDB∽△BOC时,
PD |
OB |
BD |
OC |
∵OB=1,BD=m-1,OC=2,
∴
PD |
1 |
m−1 |
2 |
PD=
m−1 |
2 |
∴P2(m,
m |
2 |
1 |
2 |
(3)假设抛物线y=2x2-2上存在一点Q,使得四边形ABPQ为平行四边形,
∴PQ=AB=2,点Q的横坐标为m-2.
当点P1为(m,2m-2)时,
点Q1的坐标是(m-2,2m-2)(9分)
∵点Q1在抛物线y=2x2-2图象上,
∴2m-2=2(m-2)2-2,m-1=m2-4m+4-1,
m2-5m+4=0,m1=1(舍去),m2=4.
当点P2为(m,
m |
2 |
1 |
2 |
点Q2的坐标是(m-2,
m |
2 |
1 |
2 |
∵Q2在抛物线y=2x2-2图象上,
∴
m |
2 |
1 |
2 |
去分母,得
m-1=4(m-2)2-4m-1,
移项,得
4m2-16m+16-44m2-17m+13=0,
整理,得
(m-1)(4m-13)=0,
∴m3=1(舍去),m4=
13 |
4 |
∴m的值为4、
13 |
4 |
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