已知圆C:（x-1）²+y²=4,以及圆C上一点A（1,2）,P为圆C上任意一点.问:x轴上是否存在一个定点M（异于O）,使得PM/PO是定值?若存在,求出M的点坐标,若不存在,请说明理由.

Question

已知圆C:（x-1）²+y²=4,以及圆C上一点A（1,2）,P为圆C上任意一点.问:x轴上是否存在一个定点M（异于O）,使得PM/PO是定值?若存在,求出M的点坐标,若不存在,请说明理由.

Answer 1

设P(x,y),假设在x轴上存在定点M(a,0),使得|PM|/|PO|=t(t>0)为定值,
则|PM|²=t²|OP|²,即(x-a)²+y²=t²(x²+y²)
x²-2ax+a²+y²=t²x²+t²y²
(t²-1)x²+2ax+(t²-1)y²=a²
x²+2ax/(t²-1)+y²=a²/(t²-1) （1）
∵P点在圆上,
∴(x-1)²+y²=4,即x²-2x+y²=3（2）
比较(1)、(2),得2a/(t²-1)=-2,且a²/(t²-1)=3,
解得t²=4,a=-3,
故存在M(-3,0),使得|PM|/|PO|=2为定值.