曲面z=x2+y2平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程为．

Question

曲面z=x²+y²平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程为______．

Answer 1

设F（x，y，z）=x²+y²-z，
因为F_x′=2x，F_y′=2y，F_z′=-1，
故曲面z=x²+y²在点（x，y，z）处的法向量为：

n

＝(2x，2y，−1)．
又因为平面2x+2y-z=0的法向量为：（2，2，-1），
则由(2x)/(2)＝(2y)/(2)＝(−1)/(−1)可得，x=y=1．
从而所求切平面为：
2（x-2）+2（y-2）-（z-2）=0．
即：2x+2y-z-2=0．
故答案为：2x+2y-z-2=0．