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曲面z^2=2xy被平面x=0,y=0,x+y=1所截的面积
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曲面z^2=2xy被平面x=0,y=0,x+y=1所截的面积
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答案和解析
用对面积的曲面积分计算,面积A=∫∫dS=∫∫[1+(z‘x)^2+(z'y)^2]^(1/2)dxdy,积分区域D为x=0,y=0,x+y=1所围部分,2zz'x=2y,z'x=y/z,同理z'y=x/z,所以[1+(z‘x)^2+(z'y)^2]^(1/2)=(x+y)/z,A=∫∫(x+y)dxdy/(2xy)^(1/2)=∫dx∫(x+y)dy/(2xy)^(1/2),y积分限0到x,x积分限0到1,∫(x+y)dy/(2xy)^(1/2)=10x/3,所以A=∫10xdx/3=5/3
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