若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形,则椭圆的离心率为?

Question

若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形,则椭圆的离心率为?

Answer 1

设这个椭圆方程为 X^2 / A^2 + Y^2 / B^2 = 1 ,则这个等腰直角三角形的直角顶点为过点（0,0）,斜率为 1 的直线与过点（A,0),斜率为 -1 的直线的交点,容易求得其坐标点 P(A/2,A/2),P点在椭圆上,于是有 （A/2)^2/A^2 + (A/2)^2/B^2 = 1 ,由此解得 A^2 = 3B^2 ,A = B3^(1/2),离心率 E = (A^2 - B^2)^(1/2)/A = (2/3)^(1/2) .