怎样证明10的n次方大于n,n大于0

Question

怎样证明10的n次方大于n,n大于0

Answer 1

最简单并且最严密的证明是采用导数法.而且可以得到一个更严密的结论:
若a≥e^(1/e),则a^x≥x,x∈R,其中e为自然对数的底数,e=2.718281828459045...,e^(1/e)=1.444667861009766.
证明:当x1
f'(x)=(a^x)lna-1≥0 x≥-ln(lna)/lna
所以f(x)在[-ln(lna)/lna,+∞)为增函数,在[0,-ln(lna)/lna]为减函数,从而在x=-ln(lna)/lna处取得最小值,令f(-ln(lna)/lna)=a^(log[a](1/lna))+ln(lna)/lna=(1+lnlna)/lna≥0
得到a≥e^(1/e)