已知双曲线x2−y22＝1，过点P（1，1）能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？如果能，求出直线l的方程；如果不能，请说明理由．

Question

已知双曲线x2−(y2)/(2)＝1，过点P（1，1）能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？如果能，求出直线l的方程；如果不能，请说明理由．

Answer 1

设过点P（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
（1）当k存在时，有y=k（x-1）+1，x2−(y2)/(2)＝1，
得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    （1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜(3)/(2)，
又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标
∴x₁+x₂=(2(k−k2))/(2−k2)，又P（1，1）为线段AB的中点
∴(x1+x2)/(2)=1，即(k−k2)/(2−k2)=1，k=2．
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（1）无实数解
故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在．
（2）当x=1时，直线经过点P但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在．