已知偶函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R），（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）设g(x)＝log4(a•2x−43a)，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Question

已知偶函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R），
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设g(x)＝log4(a•2x−(4)/(3)a)，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=f（-x）得到：f（-1）=f（1）⇒log₄（4^-1+1）-k=log₄（4+1）+k，
∴k＝−(1)/(2)．
（Ⅱ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点
即方程log4(4x+1)−(1)/(2)x＝log4(a•2x−(4)/(3)a)有且只有一个实根
化简得：方程2x+(1)/(2x)＝a•2x−(4)/(3)a有且只有一个实根
令t=2^x＞0，则方程(a−1)t2−(4)/(3)at−1＝0有一个正根
①a＝1⇒t＝−(3)/(4)，不合题意；
②△＝0⇒a＝(3)/(4)或-3
若a＝(3)/(4)⇒t＝−(1)/(2)，不合题意；若a＝−3⇒t＝(1)/(2)
③若一个正根和一个负根，则(−1)/(a−1)＜0，即a＞1时，满足题意．
所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=-3}