在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠

题目详情

在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为
______；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），如图（3），AC平分∠BAE，EC平分∠AED；BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是

10+4

．

10+4

．

（直接写出答案）．

▼优质解答

答案和解析

（1）AE=AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF=AB．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，

AB＝AF

∠BAC＝∠FAC

AC＝AC

，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点．
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°
∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，

CF＝CD

∠ECF＝∠ECD

CE＝CE

，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE；
故答案为：AE=AB+DE

（2）猜想：AE=AB+DE+

BD．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．

∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=

BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，

AB＝AF

∠BAC＝∠FAC

AC＝AC

，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．
∴∠FCA+∠GCE=60°．
∴∠FCG=60°．
∴△FGC是等边三角形．
∴FG=FC=

BD．
∵AE=AF+EG+FG．
∴AE=AB+DE+