设G是一个群,a,b,c属于G,证明xaxba=xbc在G中有且只有一个解

Question

设G是一个群,a,b,c属于G,证明xaxba=xbc在G中有且只有一个解

Answer 1

首先,该解存在,至少a的逆*b*c*a的逆*b的逆就是一个解,把它带入,两边是相等的.
其次,假设还有其他的解存在,设其中一个其他解为d,即dadba=dbc,而且d不等于上边得到的解.注意到d属于群,所以d的逆是存在的,再由dadba=dbc两边左乘d的逆得到adba=bc,两边左乘a的逆,右乘a的逆,右乘b的逆,得到d=a的逆*b*c*a的逆*b,矛盾!所以仅有一个.