设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(1)=f(0),f''(ξ)=2f'(ξ)/(1-ξ)

Question

设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(1)=f(0),f''(ξ)=2f'(ξ)/(1-ξ)

Answer 1

此题可转化为f''(x)-2f'(x)/(1-x)=0在[0,1]上有零点
形如f'(x)+p(x)f(x)-Q(x) 用一阶线性积分因子进行相乘
此题转化为F（x）在[0,1]上有零点（线性积分因子以及F（x）在后图给出）
可求得F(X)=2(1-X)f'(x)
F(1)=0
又因f(1)=f(0) 由罗尔定理可知 必然存在c 使得f'(c)=0 c属于[0,1]
F(c)=0
可知在(c,1) 必然存在一个d
使得F'(d)=0
故原命题得证