如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；（2）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的

Question

如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=√(3)，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
（2）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．

Answer 1

（1）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间坐标系
则可得P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，(1)/(2)，(1)/(2)），D（√(3)，0，0）
  设BE=x，则E（x，1，0）
∴

PE

=（x，1，-1）
得

PE

•

AF

=x•0+1×(1)/(2)+（-1）×(1)/(2)=0
可得

PE

⊥

AF

，即AF⊥PE成立；
（2）求出

PD

=（

作业帮用户 2017-10-30 举报

问题解析

（1）建立如图所示空间坐标系，得出P、B、F、D的坐标．设BE=x得E（x，1，0），算出

PE

、

AF

的坐标，得出

PE

•

AF

＝0，由此可得无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
（2）利用垂直向量数量积为零的方法，算出

m

＝((√(3))/(3)，1−(√(3))/(3)x，1)是平面PDE的一个法向量，结合

AP

=（0，0，1）与题中PA与平面PDE所成角，利用空间向量夹角公式建立关于x的方程，解出x的值即可得到PA与平面PDE所成角的大小为45°时，BE的长．

名师点评

本题考点：

用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质．

考点点评：

本题利用空间坐标系研究了线线垂直和直线与平面所成角大小．着重考查了空间垂直位置关系的判定与证明、直线与平面所成角和向量的夹角公式等知识，属于中档题．

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