在△ABC中，AC=BC，点O为底边AB中点，点D为AC腰上一点，连接BD，过点C作CE⊥BD，垂足为点E，连结EO．（1）如图1，求证：∠OEB=12∠ACB；（2）如图2，当∠ACB=90°时，连接AE，若∠AEO=90°，请你探究

Question

在△ABC中，AC=BC，点O为底边AB中点，点D为AC腰上一点，连接BD，过点C作CE⊥BD，垂足为点E，连结EO．
（1）如图1，求证：∠OEB=(1)/(2)∠ACB；
（2）如图2，当∠ACB=90°时，连接AE，若∠AEO=90°，请你探究线段DE与EO之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：取BC的中点P，连接PO、PE、CO，如图1．
∵CA=CB，点O是AB的中点，
∴∠ACO=∠BCO=(1)/(2)∠ACB，CO⊥AB．
∵CE⊥DB，CO⊥AB，
∴∠CEB=∠COB=90°．
∵点P是BC的中点，
∴PE=PO=PC=PB=(1)/(2)BC，
∴点C、E、O、B在以点P为圆心，PO为半径的圆上，
∴∠OEB=∠BCO，
∴∠OEB=(1)/(2)∠ACB．

（2）EO=√(2)DE．
证明：过点A作AM⊥BD于M，过点O作ON⊥BD于N，连接CO，如图2．
∵C、E、O、B四点共圆，
∴∠OEB=∠BCO=(1)/(2)∠ACB=45°．
∵AM⊥BD，ON⊥BD，
∴∠AME=∠ONE=90°，
∴∠MAE=∠MEA=∠EON=∠OEN=45°，
∴AE=√(2)AM=√(2)EM，EO=√(2)EN=√(2)ON．
∵∠AME=∠ONB=90°，
∴ON∥AM，
∴△BNO∽△BMA，
∴(ON)/(AM)=(OB)/(AB)=(1)/(2)，
∴AM=2ON，
∴AE=2EO．
∵∠MAE=∠CAO=45°，
∴∠MAD=∠EAO．
∵∠M=∠AEO=90°，
∴△AMD∽△AEO，
∴(AM)/(DM)=(AE)/(OE)=2，
∴AM=2DM，
∴AM=ME=2DM，
∴MD=ED=(1)/(2)ME=(1)/(2)AM=ON，
∴EO=√(2)ON=√(2)ED．