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（2013•自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2
题目详情
（2013•自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；
（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？
（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．
（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；
（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？
（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．
▼优质解答
答案和解析
（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，
∵在△B1CQ和△BCP1中，
，
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），
∴CQ=CP1；
（2）作P1D⊥CA于D，
∵∠A=30°，
∴P1D=
AP1=1，
∵∠P1CD=45°，
∴
=sin45°=
，
∴CP1=
P1D=
，
又∵CP1=CQ，
∴CQ=
；
（3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC=
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，
∵在△B1CQ和△BCP1中，
|
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），
∴CQ=CP1；
（2）作P1D⊥CA于D，
∵∠A=30°，
∴P1D=
| 1 |
| 2 |
∵∠P1CD=45°，
∴
| P1D |
| CP1 |
| ||
| 2 |
∴CP1=
| 2 |
| 2 |
又∵CP1=CQ，
∴CQ=
| 2 |
（3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC=
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