已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．（1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭

Question

已知椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0），以F₁（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F₁，过点B₂（0，b）作圆F₁的两条切线，设切点为M、N．
（1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B₁（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
（2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（√(2)-1），求此时的椭圆方程；
（3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-(√(2))/(2)，−(√(3))/(3)）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵圆F₁以（-c，0）为圆心，以a-c为半径，
∴圆F₁的方程是（x+c）²+y²=（a-c）²，
∵B₂M、B₂N与圆F₁切于M、N点，∴B₂、M、F₁、N四点共圆，且B₂F₁为直径，
由此可得：过此四点的圆的方程是（x+(c)/(2)）²+（y-(b)/(2)）²=(1)/(4)(b2+c2)，
两圆方程相减，可得两个圆的公共弦MN的方程为cx+by+c²=（a-c）²，
又∵点B₁在MN上，∴a²+b²-2ac=0，
由b²=a²-c²，化简得2a²-2ac-c²=0，即e²+2e-2=0，
∴此椭圆的离心率e=√(3)-1（负值舍去）．
（2）由（1）知，MN的方程为cx+by+c²=（a-c）²，由已知-(c)/(b)=-1可得b=c，
∵原点到MN的距离为d=(|c2−(a−c)2|)/(√(c2+b2))=(|2ac−a2|)/(a)=|2c-a|=√(2)a，
∴a=4，b²=c²=8，所求椭圆方程是(x2)/(16)+(y2)/(8)＝1；
（3）由（1）的计算，可得直线MN的斜率为-(c)/(b)．
假设存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-(√(2))/(2)，−

作业帮用户 2016-11-25