已知椭圆和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，（Ⅰ）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭

Question

已知椭圆 和圆O：x ² +y ² =b ² ，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，
（Ⅰ）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（Ⅱ）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证： 为定值。

Answer 1

已知椭圆 和圆O：x ² +y ² =b ² ，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，
（Ⅰ）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（Ⅱ）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证： 为定值。

（Ⅰ）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x ² +y ² =b ² ，
∴b=c，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ⅱ）由∠APB=90°及圆的性质，可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（Ⅱ）设 ，则 ，
整理得 ，
，
∴PA方程为： ，
PB方程为： ，
∴ ，
∴ ，
直线AB方程为 ，
令x=0，得 ，令y=0，得 ，
∴ ，
∴ 为定值，定值是 。