如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(2，62)．（1）求椭圆E的方程；（2）若点

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 E：(x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1(a＞b＞0) 的焦距为2，且过点 (

2

，(6)/(2) ) ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k ₁ ，直线BP的斜率为k ₂ ，求证：k ₁ k ₂ 为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

（1）由题意得2c=2，∴c=1，又 (2)/(a2) +(3)/(2 b2) =1 ，a ² =b ² +1．
消去a可得，2b ⁴ -5b ² -3=0，解得b ² =3或 b 2 =-(1)/(2) （舍去），则a ² =4，
∴椭圆E的方程为 (x2)/(4) +(y2)/(3) =1 ．
（2）（ⅰ）设P（x ₁ ，y ₁ ）（y ₁ ≠0），M（2，y ₀ ），则 k 1 =(y0)/(2) ， k 2 =(y1)/(x1 -2) ，
∵A，P，M三点共线，∴ y 0 =(4 y1)/(x1 +2) ，∴ k 1 k 2 =(y0 y1)/(2( x1 -2)) =(4 y12)/(2(x21-4)) ，
∵P（x ₁ ，y ₁ ）在椭圆上，∴

y

21

=(3)/(4) (4-

x

21

) ，故 k 1 k 2 =(4 y12)/(2(x21-4)) =-(3)/(2) 为定值．
（ⅱ）直线BP的斜率为 k 2 =(y1)/(x1 -2) ，直线m的斜率为 k m =(2- x1)/(y1) ，
则直线m的方程为 y- y 0 =(2- x1)/(y1) (x-2) ， y=(2- x1)/(y1) (x-2)+ y 0 =(2- x1)/(y1) x-(2(2- x1 ))/(y1) +(4 y1)/(x1 +2) = (2- x1)/(y1) x+(2( x12 -4)+4y21)/(( x1 +2) y1) = (2- x1)/(y1) x+(2( x12 -4)+12-3x21)/(( x1 +2) y1) = (2- x1)/(y1) x+(2- x1)/(y1) = (2- x1)/(y1) (x+1) ，
即 y=(2- x1)/(y1) (x+1) ．
所以直线m过定点（-1，0）．