如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,且过点(2,62).(1)求椭圆E的方程;(2)若点
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆 E: + =1(a>b>0) 的焦距为2,且过点 ( , ) . (1)求椭圆E的方程; (2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M. (ⅰ)设直线OM的斜率为k 1 ,直线BP的斜率为k 2 ,求证:k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点M垂直于PB的直线为m.求证:直线m过定点,并求出定点的坐标.
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答案和解析
(1)由题意得2c=2,∴c=1,又 + =1 ,a 2 =b 2 +1. 消去a可得,2b 4 -5b 2 -3=0,解得b 2 =3或 b 2 =- (舍去),则a 2 =4, ∴椭圆E的方程为 + =1 . (2)(ⅰ)设P(x 1 ,y 1 )(y 1 ≠0),M(2,y 0 ),则 k 1 = , k 2 = , ∵A,P,M三点共线,∴ y 0 = ,∴ k 1 k 2 = = , ∵P(x 1 ,y 1 )在椭圆上,∴ = (4- ) ,故 k 1 k 2 = =- 为定值. (ⅱ)直线BP的斜率为 k 2 = ,直线m的斜率为 k m = , 则直线m的方程为 y- y 0 = (x-2) , y= (x-2)+ y 0 = x- + = x+ 2( x 1 2 -4)+4 | ( x 1 +2) y 1 | = x+ 2( x 1 2 -4)+12-3 | ( x 1 +2) y 1 | = x+ = (x+1) , 即 y= (x+1) . 所以直线m过定点(-1,0). |
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