（2014•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，直线y=x被椭圆C截得的线段长为4105．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B

Question

（2014•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(2)，直线y=x被椭圆C截得的线段长为(4√(10))/(5)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k₁，k₂，证明存在常数λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知，(c)/(a)＝(√(a2−b2))/(a)＝(√(3))/(2)，则a²=4b²．
∴椭圆C的方程可化为x²+4y²=a²．
将y=x代入可得x＝±(√(5)a)/(5)，
因此√(2)×(2√(5)a)/(5)＝(4√(10))/(5)，解得a=2．
则b=1．
∴椭圆C的方程为(x2)/(4)+y2＝1；
（Ⅱ）（i）设A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），
则B（-x₁，-y₁）．
∵直线AB的斜率kAB＝(y1)/(x1)，
又AB⊥AD，
∴直线AD的斜率k