将△EFP沿直线l向左到图2的位置时2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ．猜想BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线向左平移到图3

Question

将△EFP沿直线l向左到图2的位置时
2）将△EFP沿直线 向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ．猜想BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想；
（3）将△EFP沿直线 向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明；若不成立,请说明理由． （2）将△EFP沿直线 向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ．猜想BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想；
（3）将△EFP沿直线 向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明；若不成立,请说明理由．

Answer 1

（1）AB=AP； AB⊥AP.
（2）BQ=AP； BQ⊥AP.
证明：○1∵EF=FP,EF⊥FP,∴∠EPF=45°.
又∵AC⊥BC,∴∠CQP=45°,
∴CQ=CP.
在△BCQ和△ACP中,
BC=AC,∠BCQ=90°=∠ACP,CQ=CP,
∴△BCQ≌△ACP.
∴BQ=AP.
○2如图18-4,延长BQ交AP于点M.
∵△BCQ≌△ACP,∴∠CBQ=∠CAP.
∵∠CBQ＋∠CQB=90°,∠CQB=∠AQM,
∴∠CAM＋∠AQM=90°,
∴∠QMA=90°,即BQ⊥AP.
（3）成立.
证明：○1如图18-5,
∵∠EPF=45°,∴∠CPQ=45°,
又∵AC⊥BC,∴ ∠CQP=45°,
∴CQ=CP.
在△BCQ和△ACP中,
BC=AC,∠BCQ=90°=∠ACP,CQ=CP,
∴△BCQ≌△ACP.
∴BQ=AP.
○2如图18-5,延长QB交AP于点N.
∵△BCQ≌△ACP,∴∠CQB=∠APC.
∵∠CBQ＋∠CQB=90°,∠PBN=∠CBQ,
∴∠APC＋∠PBN=90°,
∴∠QNA=90°,即BQ⊥AP.
说明：这是2008年河北省中考数学试题的第24题.通过观察、测量、猜想结论以及对结论进行证明,把合情推理和演绎推理融合在一起,使学生经历了数学发现的全过程,体会到了合情推理的重要性和证明的必要性．