已知函数f（x）=|x|（x+1），试画出函数f（x）的图象，并根据图象解决下列两个问题（1）写出函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[-1，12]的最大值．

Question

已知函数f（x）=|x|（x+1），试画出函数f（x）的图象，并根据图象解决下列两个问题

（1）写出函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[-1，(1)/(2)]的最大值．

Answer 1

f（x）=|x|（x+1）=

−x2−x      x≤0

x2+x     x＞0

，
当x＜0时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分，
对称轴为直线x=-(1)/(2)，以（-(1)/(2)，(1)/(4)）为顶点；
当x＞0时，函数图象是开口向上的抛物线弧，
在（0，+∞）上为增函数，最小值为f（0）=0．
由此可得函数的图象如右图所示
（1）由函数的表达式，结合二次函数的性质，
可得f（x）在(−∞，−(1)/(2)]和[0，+∞]上递增，在[−(1)/(2)，0]上递减；
（2）∵函数f（x）在[-1，-(1)/(2)]上是增函数，在[-(1)/(2)，0]上减函数，在[0，(1)/(2)]上是增函数
∴函数的最大值是f（-(1)/(2)）与f（(1)/(2)）中较大的那一个
∵f(−(1)/(2))＝(1)/(4)，f((1)/(2))＝(3)/(4)
∴f（x）在区间[-1，(1)/(2)]的最大值为(3)/(4)