如图①,已知AB是○O中一条固定的弦,点C是优弧ACB上的一个动点（点C不与A,B重合）（1）设∠ACB的角平分线与劣弧AB交于点P,是猜想点P在劣弧AB上的位置是否会随点C位置的变化而变化?请说明理

Question

如图①,已知AB是○O中一条固定的弦,点C是优弧ACB上的一个动点（点C不与A,B重合）
（1）设∠ACB的角平分线与劣弧AB交于点P,是猜想点P在劣弧AB上的位置是否会随点C位置的变化而变化?请说明理由.
（2）设AB=8,○O的半径为5,在（1）的条件下,四边形ACBP的面积是否是定值?若是定值,请求出这个定值；若不是定值,求出四边形ACBP面积的取值范围.

Answer 1

（1）点P在劣弧AB上的位置不会随点C位置的变化而变化：
∵∠ACP=1/2弧AP,∠BCP=1/2弧BP（圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半）
又：CP是∠ACB的角平分线,即：∠ACP=∠BCP
∴弧AP=弧BP
∴点P在劣弧AB上的位置不会随点C位置的变化而变化.
（2）四边形ACBP的面积不是定值：
∵P是劣弧AB上一定点,即劣弧AB的中点
∴S△PAB是定值：
连接OP,与AB交于M
OP=R=5,OM=根号(OA^2-MA^2)=根号(5^2-4^2)=3
MP=OP-OM=5-3=2
S△PAB=1/2*AB*MP=1/2*8*2=8
C点在优弧AB上移动做CD垂直AB,可知CD最小值大于零,当CD过圆心O时,即D点与M重合时取最大值：CDmax=OC+OM=5+2=7
∴S△CAB＞0,S△CAB≤1/2*AB*CDmax=1/2*8*7=28
∴8＜SACBP≤28+8=36