如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长和侧棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，O1为A1C1中点．（I）求证：AO1∥平面C1BD．；（II）求证：BD⊥A1C；（III）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1．

Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长和侧棱长均为1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，O₁为A₁C₁中点．
（I）求证：AO₁∥平面C₁BD．；
（II）求证：BD⊥A₁C；
（III）求四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁．

Answer 1

证明：（I）连接AC、BD交于O点，连接C₁O．
∵C₁C∥A₁A，
∴四边形ACC₁A₁为平行四边形．
又O₁，O分别为A₁C₁，AC的中点，
∴C₁O∥AO₁．
∵C₁O⊂平面C₁BD，AO₁⊄平面C₁BD，
∴AO₁∥平面C₁BD．
（II）连接A₁B，A₁D，A₁O．
∵A₁A=AB=AD，又∠A₁AB=∠A₁AD，
∴A₁B=A₁D．
∵O为BD中点，
∴BD⊥A₁O．
又底面ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，AC∩A₁O=O．
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵A₁C⊂平面ACC₁A，
∴BD⊥A₁C．
（III）∵BD⊥平面ACC₁A₁，BD⊂平面ABCD，
∴平面ACC₁A₁⊥平面ABCD．
过A₁作A₁E⊥平面ABCD，
∵平面ACC₁A与平面ABCD交于AC，则E在AC上
过E作EF⊥AB于F，由AB⊥平面A₁EF，则A₁F⊥AB．
∴A1F＝(3)/(2)，AF＝(1)/(2)． 
在Rt△EAF中，∠EAF=30°，
∴EF＝(√(3))/(6)．
∴A1E＝√(A1F2−EF2)＝(√(6))/(3)．
∴V四棱柱＝SABCD•A1E＝1•1•sin60°•(√(6))/(3)＝(√(2))/(2)．