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如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,BD∥AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F为CD的中点.(I)求证:EF⊥面BCD;(II)求多面体ABCDE的体积;(III)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值.
题目详情
如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,BD∥AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F为CD的中点.
(I)求证:EF⊥面BCD;
(II)求多面体ABCDE的体积;
(III)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值.
(I)求证:EF⊥面BCD;
(II)求多面体ABCDE的体积;
(III)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(I)取BC中点G,连FG,AG.
因为AE⊥面ABC,BD∥AE,所以BD⊥面ABC.
又AG⊂面ABC,所以BD⊥AG.
又AC=AB,G是BC的中点,所以AG⊥BC,所以AG⊥平面BCD.
又因为F是CD的中点且BD=2,所以FG∥BD且FG=
BD=1,所以FG∥AE.
又AE=1,所以AE=FG,所以四边形AEFG是平行四边形,所以EF∥AG,所以EF⊥面BCD.
(II)设AB中点为H,则由AC=AB=BC=2,可得CH⊥AB且CH=
.
又BD∥AE,所以BD与AE共面.
又AE⊥面ABC,所以平面ABDE⊥平面ABC.
所以CH⊥平面ABDE,即CH为四棱锥C-ABDE的高.
故四棱锥C-ABDE的体积为VC-ABDE=
SABDE•CH=
[
(1+2)×2×
]=
.
(III)过C作CK⊥DE于K,连接KH.
由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE,所以∠HKC为二面角C-DE-B的平面角.
易知EC=
,DE=
,CD=2
.
由S△DCE=
×2
×
=
×
CK,可得CK=
.
在Rt△CHK中,sin∠HKC=
=
,所以cos∠HKC=
,
所以面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为
.
因为AE⊥面ABC,BD∥AE,所以BD⊥面ABC.
又AG⊂面ABC,所以BD⊥AG.
又AC=AB,G是BC的中点,所以AG⊥BC,所以AG⊥平面BCD.
又因为F是CD的中点且BD=2,所以FG∥BD且FG=
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又AE=1,所以AE=FG,所以四边形AEFG是平行四边形,所以EF∥AG,所以EF⊥面BCD.
(II)设AB中点为H,则由AC=AB=BC=2,可得CH⊥AB且CH=
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又BD∥AE,所以BD与AE共面.
又AE⊥面ABC,所以平面ABDE⊥平面ABC.
所以CH⊥平面ABDE,即CH为四棱锥C-ABDE的高.
故四棱锥C-ABDE的体积为VC-ABDE=
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(III)过C作CK⊥DE于K,连接KH.
由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE,所以∠HKC为二面角C-DE-B的平面角.
易知EC=
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由S△DCE=
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在Rt△CHK中,sin∠HKC=
CH |
CK |
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所以面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为
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