如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，A1C=BC，B1C1∥BC，且B1C1=12BC．（I）求证：A1B⊥B1C；（II）求证：AB1∥平面A1C1C．

Question

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，A₁C=BC，B₁C₁∥BC，且B1C1=(1)/(2)BC．
（I）求证：A₁B⊥B₁C；
（II）求证：AB₁∥平面A₁C₁C．

Answer 1

（I）证明：设A₁B与AB₁交于点O，连接CO．
四边形ABB₁A₁是正方形，
∴A₁B⊥AB₁，A₁O=BO，
∴在△A₁BC中，A₁C=BC，∴A₁B⊥CO．
又因为A₁B∩CO=O，∴A₁B⊥面AB₁C，
又B₁C⊂面AB₁C，A₁B⊥B₁C；
（Ⅱ）取BC中点D，连接AD，C₁D，BB₁D．
∵

B1C1∥BC，B1C11=(1)/(2)BC

B1C1∥DC，B1C1∥BD

∴四边形B₁C₁CD是平行四边形．
∴B₁D∥CC₁，B₁B∥C₁D，又B₁B∥A₁A，B₁B=A₁A，∴A₁A∥C₁D，A₁A=C₁D，
∴四边形A₁ADC₁是平行四边形．∴AD∥A₁C₁．
又B₁D⊄面A₁C₁C，AD⊄面A₁C₁C，∴B₁D∥面A₁C₁C，AD∥面A₁C₁C，
又B₁D∩AD=D，∴平面．AB₁D∥面A₁C₁C，
∵AB₁⊂面AB₁D，∴AB₁∥平面A₁C₁C．